完美数：数论宝库中的“钻石”

完美数是什么意思

完美数(Perfect Number)，又称完全数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和，恰好等于它本身。例如：第一个完美数是6（也是最小的完美数），它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。完美数神奇而迷人，有“数论宝库中的‘钻石’”之称。

完美数在西方的寓意

在西方，完美数6是一个备受宠爱的数字。有人认为，6是属于美神维纳斯的,它象征着美满的婚姻；也有人认为，宇宙之所以这样完美,是因为上帝创造它时花了6天时间等等。中国人对6的喜爱，也是很有说法的；例如成语“六六大顺”“六畜兴旺”“六谷丰登”“六朝脂粉”“六出奇计”“六合同风”“身怀六甲”“眼观六路”……不一而足。公元前6世纪的古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯是最早探究完美数的人,他已经知道6是第一个完美数了。

到了公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在其名著《几何原本》中首次给出了寻找完美数的方法,被数学界誉为“欧几里得定理”：如果2^P-1是素数(其中指数P也是素数),则2^(P-1)(2^P-1)是完美数。2^P-1型的素数在数学界被称为“梅森素数”，它是以17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林·梅森命名的。

1730年,被称为“世界四大数学家雄狮”之一的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉,时年23岁,正值风华茂盛。他出手不凡，给出了一个出色的定理：每一个偶完美数都是形如2^(P-1)(2^P-1)的自然数,其中P是素数，2^P-1也是素数。这就是欧几里得定理的逆定理。有了欧几里得和欧拉两个互逆定理,公式2^(P-1)(2^P-1)就成为判断一个偶数是不是完美数的充要条件了。

此外，欧拉在双目失明的情况下，1772年靠心算证明了2^30(2^31-1)是第8个完美数。这个具有19位的完美数（即2305843008139952128），堪称当时已知的最大完美数。他的顽强毅力与解题技巧令人赞叹不已；法国大数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”

法国哲学家、数学家、物理学家勒内·笛卡尔曾公开预言：“能找出完美数是不会多的，好比人类一样，要找一个完人亦非易事。”历史已经证实了他的预言。2600多年来，人们历尽艰辛，一共才找到51个完美数。有趣的是，这些完美数都是偶数，其个位数要么是6，要么就是8；至今人们还没发现奇完美数，如果该数存在的话，它一定是非常巨大的。由于完美数具有独特美妙的数学性质，千百年来，许多著名数学家以及无数数学爱好者对它情有独钟。

由“欧几里得-欧拉定理”可知，人们只要找到一个梅森素数，就可以找到一个与其对应的偶完美数。值得指出的是，梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其探究难度就会很大；它是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探究的热点和难点之一。

目前，世界上有190多个国家和地区近80万人参加一个名为“互联网梅森素数大搜索（GIMPS）”项目，并动用了超过211万核中央处理器（CPU）联网来寻找梅森素数。可见，梅森素数的探究非常火爆；这在数学史上前所未有，在科学史上也极为罕见。现在只要人们去GIMPS的主页下载一个名为“Prime95”免费程序,就可以立即参加GIMPS项目来搜寻梅森素数。

前不久，来自美国佛罗里达州的互联网专家及数学爱好者帕特里克·拉罗什利用GIMPS项目，成功发现第51个梅森素数2^82589933-1；该数有24862048位，它是当今人类发现的最大素数。由此可以知道第51个完美数是2^82589932（2^82589933-1）；如果用普通字号将这个完美数打印下来，其长度将超过200公里！

值得一提的是，在梅森素数的素性判断方面，法国数学家爱德华·鲁卡斯和美国数学家德里克·雷默都做出了重要贡献；以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。在梅森素数的分布探索方面，中国数学家、语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式；这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。

需要指出的是，实际上完美数目前并不“完美”，它还有一些谜团尚未解决。例如：是否有无穷多个完美数？存在不存在奇完美数？完美数在自然数中是如何分布的？这些都是当今数论领域的著名难题；它们与其他科学难题一样，有待人们去攻克。正如德国数论专家卡尔·西格尔所言：“待到它们被完全破解时，所谓的‘完美数’才算是真正的完美数。”

最后一提的是，完美数是当前数论研究中的前沿课题之一，也是历来人们寻找数学美的重要组成部分；尽管我们现在还看不到它的实际用处，但它却反映了自然数的某些基本规律。探究自然规律，揭开未知之谜，这正是科学追求的终极目标。